用贝叶斯公式彻底讲明白三门问题

我在七八年前（2018年）在知乎写了几篇关于三门问题的文章：

有趣的数学——违反直觉的囚犯问题和三门问题 [终结数学月经题系列2]三门问题还在纠结三门问题？不如用代码暴力验证（附Python代码）

几年过去了，我还是经常从评论区和私信收到很多对于三门问题的疑问。我在想，到底有没有一种彻底的、清楚的、明白的方法，可以让大部分人像明白1+1=2一样完全明白三门问题，我觉得贝叶斯公式可能是最优解。

先做个预警：一个清楚、不引起歧义的方法，可能会比其他简单直观的方法更复杂些，但是为了可以彻底弄懂三门问题，老老实实一步一步推导，多走一些“弯路”是必要的。

三门问题的定义

首先，回顾下三门问题的定义：

有一个电视游戏竞猜节目，主持向竞猜者展示了三扇门。有一扇门之后有礼物，另两扇门之后是空房间。主持人事先知道门后是什么（重要！）。

游戏分为三步：

首先，你选择一扇门；

然后，主持人一定会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间（重要！）。如果剩下的两扇门都是空的，他会随机选一扇打开，两扇门各有一半的机会。

最后你可以选择是仍然选择你开始选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的门。

如果你选择换门，则你获得礼物的概率是多少？

解题第一步：列贝叶斯公式

我们假定三扇门是ABC，你一开始选择的门是C。然后主持人打开了A这扇门，A背后没有礼物。

先回顾贝叶斯公式：

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|\neg A)P(\neg A)}$

记【B_gift】是“B门后面中奖”简写，【openA】是“主持人打开A这扇门”的简写。

我们知道，在一无所知的情况下，

$P(A\_gift)=P(B\_gift)=P(C\_gift)=\frac{1}{3}$

我们要的三门问题的答案，是求 $P(B\_gift|openA)$

它经过贝叶斯公式，等于

= $\frac{P(openA|B\_gift)P(B\_gift)}{P(openA)}$ （*）（记住这个公式，后面会引用到）

我们只需要计算这个公式就可以了。我们称这个公式为（*）。

解题第二步：求公式（*）的分子

分子比较简单，

$P(B\_gift)=\frac{1}{3}$

$P(openA|B\_gift)$ 是B门后有礼物的条件下，主持人打开A的概率，这个概率一定为1，因为这个时候，主持人不可能打开B这扇门！

因此分子 $P(openA|B\_gift)P(B\_gift)$ 为 $\frac{1}{3}$

解题第三步：求公式（*）的分母

全概率展开的第一种方法

分母是 $P(openA)$ ，主持人打开A这扇门的无条件概率。对其进行全概率展开：

$P(openA)$

$=P(openA|A\_gift)P(A\_gift)\\+P(openA|B\_gift)P(B\_gift)\\+P(openA|C\_gift)P(C\_gift)$

其中，下面三项比较好理解：

$P(A\_gift)=P(B\_gift)=P(C\_gift)=\frac{1}{3}$

还有三项不太好理解，我们一个一个计算：

$P(openA|A\_gift)$ 一定等于0，因为主持人不可能打开有礼物的门

$P(openA|B\_gift)$ 一定等于1，因为主持人不可能打开B，因此只能打开A

$P(openA|C\_gift)$ 等于1/2，因为主持人既可能打开A，也可能打开B

注意，同样是打开A门，主持人有时候是随手选的，有时候是没得选。奖品在C门，他开A、开B都行，只有一半的机会开A；奖品在B门，他就只能开A。所以你看到他开的是A，这条消息更支持奖品在B门。

因此 $P(openA)=\frac{1}{2}$

至此，就可以计算出公式（*）了，B门后有礼物的概率是 $\frac{2}{3}$ ！

三门问题到这里就得到了解决。

全概率展开的第二种方法

其实，分母还有另一种全概率展开的方法（这种方法更复杂一些，看不懂也没有关系，毕竟上文已经把三门问题解决了）：

$P(openA)$

$=P(openA|B\_gift)P(B\_gift)+P(openA|\neg B\_gift)P(\neg B\_gift)$

其中， $\neg B\_gift$ 表示B后面没有礼物。

$P(openA|B\_gift)P(B\_gift)$ 这一项已经在上面求得了，是 $\frac{1}{3}$

$P(\neg B\_gift)$ 显然是 $\frac{2}{3}$

$P(openA|\neg B\_gift)$ 更复杂一些，我们再进行一次全概率展开：

其中， $P(openA|A\_gift,\neg B\_gift)=0$

$P(openA|C\_gift,\neg B\_gift)=\frac{1}{2}$

$P(C\_gift|\neg B\_gift)=\frac{1}{2}$

因此

$P(openA|\neg B\_gift)\\=\frac{1}{4}$

所以

$P(openA)=\frac{1}{2}$

再问一句：如果主持人也不知道奖品在哪呢？和前面一样，你一开始选的是C门。这次，主持人在A和B里随机挑了一扇，碰巧打开的是A，而且A门后是空的。这时候，坚持选C和换到B，中奖概率都是一半。

因为奖品不论在B还是C，他碰巧打开空的A门的概率都是一半。你看到的都是“A门是空的”，可一次是主持人知道奖品在哪、特意避开了它，一次是他碰巧没开到。门开得一样，消息来得不一样。

总结

我用了两种方法来计算三门问题的答案，虽然麻烦，但是每一步之间都有逻辑支撑，不会云里雾里。希望对大家彻底理解三门问题有帮助。

2026年10月30日更新：我的第一本书终于出版了。

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