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概率论、赌场与赌徒输光定理
最近电影《消失的她》很火，讲的是一个赌徒的故事。再加上前段时间有几位明星的涉赌传闻闹得沸沸扬扬，我找到了我在学生时代做的一次课后作业展示，我把当时的录音转成文字，分享到这里。由于硬盘发生过损坏，因此PPT有些变形，勉强可以凑合着看。
导言
大家好，我今天分享的主题是《概率论、股票与赌徒输光定理》。大家看到这个名字可能会觉得我是要教大家如何在赌场中所向披靡、大赚特赚。但恰恰相反，我本次分享的核心思想是，哪伯一个人掌程了所有牌型的概率，也有可能在赌场中掉入陷阱，输得倾家荡产。的确，概率论可以武装自己，用更好的理论去指导一些决策。但是在赌场中，哪怕是最优策略也未必对你有利。有一句话说得好，如果一个人没有数学知识就去赌博，他会输得糊里糊涂。如果一个人武装了数学知识去赌博，他会输得明明白白。不管怎么样，都是输。
赌博作为一项娱乐活动，存在于古今中外，屡禁不止，一直在吸引大众。为什么人们会沉迷赠博，或者沉迷赌场?
此外，还有一些其他的常见的问题，比如最近狼人杀开始流行一些玄学打法，比如首刀位置学、概率打法。这些打法到底有没有道理呢?
我都会在今天下午的分享中来和大家一起探讨这些问题。我分享的所有主题和内容的核心，都指向一点，就是赌徒输光定理。这个定理是概率论和随机过程中一条重要又有趣的定理，而且对我们的人生抉择也有指导意义。
在我们的大学数学三件套中，三件套指的是微积分 、线性代数和概率论，微积分起源于17世纪，是为了解决物理学、天文学计算问题；线性代数起源于19世纪，是为了解决如何解方程的问题；概率论起源于17世纪，大家知道概率论的起源是什么吗？大家应该猜到了，概率论的起源就是赌博。
狼人杀
接下来说说狼人杀。狼人杀也是很老的游戏了，我在读本科那会，大约两年前，狼人杀的风气很流行，我基本上每周都会去玩粮人杀，在玩的过程中，会接触到各种形形色色的理论。讲两个比较有名的。第一个是“连狼必出连神”的理论，意思说，如果出现两头狼些在一起的情况，那么也会出现至少两个神坐在一起的情况。
通过概率计算，哪怕不考虑是否有连狼，出现连神的概率就已经高达将近80%了。如果出现连狼，那么连神的概率会有提升。所以这个总结，只能说有一定的道理。（参考资料：狼人杀中的概率学 - 长尾的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/29114446）
第二个甚器尘上的理论是首刀位置学。比如三八三八，必有一杀。意思是三号位或者八号位中必有一个是狼。这都是错误的。类似的错误还有，我已经连续一个上午拿到的是狼人牌，我下一把拿狼的概率应该更少点了吧？这些都是错误的认知，在独立事件中，概率是不会发生改变的。
为什么这些错误的认知会大行其道呢?我认为有三个原因。第一个是幸存者偏差，什么是幸存者信差?幸存老偏差这一概念的起源可追潮到20世纪40年代的二战期间。当时，美国空军将战斗机返回后进行检查和维护，以了解哪些部位需要加强。研究人员分析了已返回的战机的损伤分布图，并根据此设计了对飞机进行加固的方案。比如研究人员发现窗户旁边的子弹孔很多，于是加固窗户旁边的挡板。然而，在这些方案实施前，一位统计学家提出，应该将未返回的飞机的损伤也纳入考虑范阔。为什么呢?比如油管区域，一旦打中，极有可能会原地爆炸，这种是无法返回的战机。因此，在已返回的战机中，油推区部是没有弹孔的，都是好的。因为油罐区域有弹孔的都无法回来。
又比如，跑去春运的火车车师里问大家有没有买到春运火车票，可以得到结论：所有人都买到了春运车票。车厢里的人都是幸存者。
应用在狼人杀中，就是，有些人由于运气原因，刀中了人，会以为是首刀位置学的功劳，而不是运气的原因，在这之后，他就会去大力宣传首刀位置学。而没有应验的玩家可能不会为此特意去发声。
一个类似有趣的例子是算命，算肚子里怀的足男孩还是女孩。我就算瞎猜，也一半的概率结对。如果猜对了，别人会觉得这个算命先生有两把刷子，还挺准，就会去自发打广告。如果错了，不一定会去到处说。
又比如有那种包生男孩的秘方。你不管吃啥都是1/2的概率生男孩。如果真的生下了男孩，就会觉得这个人的方子真的很准，就会到处去宣传。如果生下的是女孩，可能就不会到处去说。
还有两个原因，一个是证实性偏见，当有些玩家主观上已经右信了首刀位置学这一“理论”之后，他们一想起首刀位置学，脑海中就会开始进行选择性地回忆、挫集有利于让实这一“理论”的案例，而忽略掉那些与这一“理论“相矛盾的经历。
还有一个原因是首因效应。我们知道第一印象是很重要的，类似的道理，如果学习了首刀位置学后，第一次就成功了，印象就会尤为强烈。有些游戏厂商会利用首因效应，来误导玩家。比如三国杀，你刚买了一个新英雄，那么使用新英雄的头几局里，你摸的牌都会相对来说比较好。玩家买新英雄后的头几局，都可以赢。
三国杀
说完狼人杀，接着说说三国杀。
一个最经典的问题是甄姬发动洛神拿牌的数学期望。
客案是一张。我花一分钟事件来讲一下这个数学期望是如何求出来的。听不懂也没关系，反正只有1分钟，不影响后面的内容。首先设X为摸到得的数量，那么E(X)就是我们要求的数学期望。考虑第一次翻牌出现的结果，有0.5的概率摸到红牌，那么甄姬摸到的牌就是0张。还有0.5的概率摸到黑牌，那么摸到黑牌后，再重复这个流程，加上本身已经摸了一张黑牌，于是就有了这个式子，可以算出摸牌的数学期望是1。
有一个类似的问题是，小明家想要个男孩，直到生下男孩就停止，否则一直生。求小明家子女数量的数学期望。
这道题平均是两个：一个男孩，外加平均一个女孩。生男孩就相当于摸到了红牌，不过孩子总数得把最后这一个也算进去。
还有一个扩展是，假如全村人都这样致，那么下一代的男女比例是怎样的?这个答案比较违背直觉，家数多了，男女比例通常接近一半一半。按直觉来说，直到生出男孩就不继续往下生了，男孩应该比女孩多才对，但是按每家平均来算，男女是一样多的。其实可以把每个家庭都比做甄姬发动洛神。刚刚已经求出来了，摸到黑牌的数学期望是1。那摸到红牌的数学期望是多少?也是1，因为游戏规则规定摸到红牌就停，所以一定会摸到一张红牌，而且只有一张红牌。对应地，每家人，平均会生下一位男孩和一位女孩。所以家数多了，男孩和女孩的比例通常就接近一半一半。
三国杀中还有一个经典的问题是，八个人中闪电的概率相等吗？事实上，在军争牌堆中，一副牌一共有160张牌，其中有25张牌是黑桃2-9。那么第一个人在第一轮被劈中的概率是25/160,已经大于1/8了。如果综合每一轮的情况，第一个人中闪电的概率高达1/5。如果下家挨着队友，那更不应该挂闪电了。
以上两个问趣是普遍的两个问题，现在三国杀已经发展十多年了，各种乱七八精的武将英雄层出不穷，很多武将都会包含一些数学或者概率方面的问惑。这张PPT讲了三个武将的一些数学期望。考虑到后来这些武将的受众可能不高，我就不仔细展开了。
炸金花
炸金花也是常见的娱乐游戏。炸金花可以说是德州扑克的简化版本。这张图是炸金花中各种牌型的大小排序。其实仔细推敲的话，也是有一些不合理的。同花顺出现的概率比豹子小，但是同花顺没有豹子大。顺子出现的概率比 同花小，但是顺子没有同花大。作为对比，我们看看德州扑克中各种牌型的概率分布，可以看到德州扑克的牌型大小排序，是和对应的概率相关的。
顺带贴一个炸金花的指南吧。比如说有四个人玩 炸金花，那么你的牌至少AJ3的时候，才有一定把握比别人大。
其实在座的很多同学应该都会或多或少玩一些娱乐项目。我其实不想在本次分享中，分享一些打牌的技巧，因为我分享的主题是赌徒输光定理，主题是反赌博的。 当然还有一个原因，是我比较菜。我玩欢乐斗地主，每天都会输光，每天都要靠低保救济。我也算是切身体验到赌徒输光定理。
策梅洛定理
我们刚刚讲了炸金花、德州扑克，三国杀、狼人杀等游戏，游戏可以分为两种：完全信息博弈和不完全信息博奔。如果所有的参与者，在游戏的任何价段都可以获知过去以及现在的所有游戏信息，这类游游戏就称为为完全信息博弈。用人话来说，就是大家都能看到对方是怎么走的，比如各种棋。否则，就称为不完全信息博弈，比如炸金花，你是看不到别人的牌的。大家可以思考一下，军棋属于哪一种？
所以笼统来说，一个游戏的信息可以拆解成两个角度：确定信息和不确定信息。这个图表统计了常见游戏的信息折解。横是确定信息的维度，纵轴是不确定信息的维度。可以看到，跳棋、象棋、国模这些点都严格位于横轴上，他们是100%由确定信息组成。称为完全信息博弈。
一个有趣的点是，像下棋这样，两个人轮流走，双方都看得见棋盘，而且一盘棋按规则总能结束。1913年，数学家策梅洛证明，两边都下得最好，要么先手赢，要么后手赢，要么和棋。这个定理没告诉我们象棋、围棋是哪一种。为什么这么难算？围棋有19×19个交叉点，再往后每多走一步，可能的棋局就多出一大堆，要把它们全算一遍可不容易。
如果一个游戏，越靠近横轴，那么这个游戏越考验技术，在这个图中，麻将的不确定性是很高的，也就是说麻将的运气成分最大，一个新手，很有可能赢过老手。与此作为对比的是德州扑克，这是一个比较违背直觉的，德州扑克的运气成分反而比桥牌还低。
网络游戏
之前提到的都是线下的游戏，网络游戏中也存在赌博，一个典型的例子就是抽卡或者抽箱子。什么是抽卡呢?在网络游戏中购买某道具，不能直接购买，而是购买一张张卡片，以刮奖的方式，每张卡片背后有一定概率足对应的道貝。
那么，这个概率是真的随机的，还是被游戏厂商操纵的呢?
肯定不是真陆机。
真正的随机没有办法通过基于当前传统计算机框架的程序做出来。举个简单的例子，抛骰子这件事，看起来是随机的，但是骰子在离开手的时候， 骰子几点朝上的结局已经确定了。只要知道离开手的那一刻的位置、动量、风力、地面等情况，就能计算出它几点朝上。
纯计算机程序中的随机都是伪随机，没有办法产生真正的随机。
还有一个原因是不能做。举个例子，假如抽一张卡片，中奖的概率是0.1。按照大多数人的直觉来说，抽满10次卡片应该要中奖的。但是，哪怕足真随机，连续抽10次卡片都没有中奖的概率是0.34，这达到了1/3。换句话说，会有三分之一的玩家会质疑这个抽卡不是真随机的。
一个类似的例子，发生在乔布斯时代的苹果产品上。ipod是一款音乐播放器，它最早推出“随机播放”功能的时候，用户发现有些歌曲会被重复播放，他们据此认为播放根本不随机。举个例子，如果用户的歌单里有100首歌，如果是完全随机的方式，那么有百分之一的概率出现连续两首歌一模一样。有人可能会说，我加个过滤条件不就行了，如果足一样的歌，那我就换一首。ok,这个过滤条件可以加，但是其他场景呢?比如连续3首中，出现了2首一样的歌。又或者，连续5首歌中，出现了2首一样的怎么办?这些我都可以加过滤条件。但是要明白一点——只要加了过滤条件，就不是真正的随机了。碰到重复的歌曲，就跳过。这个和抛骰子的时候，看到自己不满意的结果，就再来一次，是一样的，这打乱了原始的公平，就不是真正的随机了。
聚类错觉
一个类似的概念，叫做“票类错觉”。先来看这样一个例子：老师要求两位同学各自抛10次硬币，然后记录下硬币的结果，但是有一个同学偷懒，没有抛，而是自己模拟随机抛硬币的结果编造了一个序列。哪个序列更有可能是伪造的?
这个问题其实没有标准答案，因为没有一个客观的标准去衡量伪造。但是，仅从已有的信息来说，B史有可能是伪造的。因为大多人认为的随机，是正和反交替出现。很多人会觉得，第一个序列，10次结果，有8次是正面，而且一开始连续4次是正面，结尾的时候又出现了连续3次是正面，哪有这么巧?肯定是伪造的啊。再看第二个序列，有正有反，多均匀，多随机啊。
如果是用公平硬币抛十次，这两串出现的概率一样，都是 1/1024。第二串只是看着更像人编的。
第二个序列看起来比较均匀，举个极端的例子，如果一个序列是正反正反正反正反正反，一看就像有人故意排的。可真抛十次硬币，它和十次全是正面一样难碰到。
一个类似的例子是，我们经常可以在新闻上看到，从火星上拍到了什么建筑的痕迹啊，拍到了人脸啊，什么的。然后就搞一个大新间，说火星上有文明的痕迹。且不论这些图片的真候。就算是真的，比如这两张图片，是正规新闻上发的，那也不能说明什么。火星表面这么大，总会出现一些看起来比较规则的图案。就和抛硬币也是一样的道理我连续抛100万次硬币，有没有可能出现连续20次都是正面的情况?完全有可能，而且这个可能性还不低。那你看到连续20次都是正面的时候，会怀疑这个硬币不是随机的吗？
再举一个和生活息息相关的例子。大家有没有进过彩票店，我发现全国各地，不论是哪里的彩票店，都会在墙上贴一个彩票走势图。然后很多在驻足在走势图面前，企图通过走势图来分析规律。有时候还真的可以发现规律，但是这些规律都是假的，和刚刚说到的火星上的建筑是一样的。火星表面这么大，一定可以找到一些看起来像人为痕迹的地方；同样地，彩票数据多了后，你要强行去找规律，也一定可以找出所谓的规律。
在我们的机器学习领域，有一句话，叫做“你要对数据严刑拷打，一定可以从数据中找到想要的模式”也是类似的道理。
小数定律
刚刚说到的聚类错觉，指的是如果数据足够多，我们可以找到任何自己想要的规律。那如果数据量比较少能不能找到一些伪规律呢?小数定律就是说的这个问题。当数据足够少的时候，都不需要你自己去找，有些规律会自己跳出来这在体育领域尤其是更灾区。比如所谓的巴西队定律，只要巴西在世界杯夺冠，那么下届冠军就是东道主。这个定律怎么来?人们发现在有限的几次世界杯，都满足这样的规律，于是就总结出来了。很遗憾，这个规律在06年被打破了。还有什么美洲杯定律、王治郅定律，都是典型的小数定律。
大数定律
刚刚说到小数定律，现在来说大数定律。虽然放在一起讲，但小数定律和大数定律可没有可比性。小数定律是伪科学。大数定律是整个概率论中最重要的定律之一。如果没有大数定律，人们就没有办法通过经验或者物理实验来认识这个世界。
大数定律指的是，当实验次数足够多时，频率近似等于概率。比如抛10次硬币，出现8次正面、2次反面，这是正常的。但是抛10万次，正面和反面的次数大概率都在5万左右，几乎不可能出现8万次正面、2万次反面的情况。
举一个更贴近生活的例子：假如你的麻将技术没有我好，你可能会在偶尔一两次牌局赢我，但是长久下来，我赢的次数一定比你多。
赌徒诊误
讲完大数定律，再讲一个“赌徒诊误”。大家也会不会有以下的问题:
抛硬币中，我已经连续三次抛到了正面，下一次是反面的概率应该会更大一些了吧?
飞行棋的出行环节中，我已经连续好几轮没有扔到6，下一次扔到6概率总该更大点了吧？
狼人杀中，我已经拿了一下午的狼人牌了，这一把再拿到狠人杀的概率应该更低点了吧？这个彩票号码从来没有出现过，我买这个号码一定比出现过的号码更有希望！
这些想法是正常的，但不正确。因为在这些事情都是独立事件，只要硬币是正常的，哪怕已经冻续三次扔到了正面，下一次是正面的概率仍然是0.5。有人可能会说，不是有大数定律吗?频率和概率应该相近才对啊。正面的概率是0.5，那么频率也应该是0.5左右才对啊，但是要注意，大数定律，之所以叫做大数定律，是因为大，因为数据量足够大。你只抛了几次設子，根本就达不到大数定律的条件。不理解事件的独立性，加上错误理解大数定律，则会导致赔徒望误。嘟徒误有一个很经典的想法是，倍投策略，而倍投策略的结局是倾家荡产。
倍投策略
什么是倍投策略?
现在有一个简单的赌#游戏：抛一次硬币，赌正反面，下注n元。
如果赢了，赢n元（即争回下注的n元，并且再获得n元)；如果输了，亏n元（即亏掉下注的n元）。可以一直玩下去。
有人想到了一种必赢钱的方法:
第一次下注1元。
如果输了，第二次下注2元。
如果再输了，第三次下注4元。
以此类推，每次下注是之前的两倍。
直到赢了，就停止。
(总会停止的，总不可能一直输吧?)
我们来分析一下这个策略。如果第一次就赢了， 那么他赢了1元。如果他第一次输了，第二次赢了。那么，第一次输了1元，第二次赢了2元，综 合下来，还是赢了1元。假如前两次都输了，但是第三次赢了，综合下来，还是了1元。以此类推，直到赢了，你虽终是赢了1元。1元也是钱，不管怎说，最终赢钱了。而且，如果把两倍改成三倍，赢的钱会更多，而且是稳赢的钱。
咋一看，这个策暗好像是无懈可击的，首先，我不可能一直输下去吧，只要我赢了一局，我就可以把之前所有输的都赢回来，而且多赢了1元。
但是，有没有想过，假如连续输了十次，怎么办?首先，这种情况并非不可能发生，发生概率是1/1024，这个概率不算低。你从出生到现在，二三十年，一定经过了一干分之一的概率的事件。
已经连续输了十次，这个时候，已经输了1023元 。按照策暗，下一把你要下注1024元。你可能会说，1024元也不多啊。但是注意，你第一把下注的是1元。在实际赌博中，除了娱乐局，没有哪个赌局是1元下注的。假如你第一次下注的是100元，那么此时你面临的情况是，下一把要下注10万两千四百元，你能拿出这么多钱吗？假如第一次下注的是1000元，那么你面临的是要拿出100万。
就算你一下子可以拿出这么多钱，赌场也未必让你下注，因为赌场有下注金额的上限，假如上限是10万，那你没有办法通过这个策略回本。
倍投策略发生的错误，不要以为只在赌场中发生。很多人也会犯这个错。比如买股票。发现下跌了就加仓，加倍补仓:继续下跌，再加倍补仓。补几次后，没钱了。越套越深。
股票
说到炒股，很多人炒股都是小亏大:为什么会这样呢?这背后有一个心理学理论来解释:
假如你参加了两个实验，每个实验都要从A/B中选择一项。
实验一：选项A:100%的概率获得1万元。选项B：50%的概率获得2万元，50%的概率无事发生
实验二：选项A:100%的概率亏掉1万元。选项B：50%的概率无事发生，50%的概率亏损2万元
暂停一下，你会怎么选?
对于实验一大多人会选择选项A。反正我选A，百分之百可以获得1万元,我选B的话，可能什么都获行不了。
对于实验二，大多人会选择选项B。选A的话我一定号钱，但是选B，我有可能不亏钱。
但是实验一和实验二没有本质不同，如果把实验一中的数值减去2万，则变成了实验二。
如果你认为实验一中，A比B更优，那么按道理来说，在实验二中，也应该A比B更优。
为什么会造成这样的博论呢?这是因为人们的心理有风险厌恶机制。相比于收益，人们对损失更敏感。在炒股中，因为不喜欢损失，当股票亏本时，往往会想若“我一定要等到翻本”而不是止损认亏。结果越越深。与此作为对比的是，当有盈利的时候，人们往往会想到落袋为安，生怕哪一天又铁回去了，于是在只赚了一点点的时候就匆忙卖出。这些因煮造成了赚小亏大。
21点
接下来，来到了这个分享的最后一个话题——赌场。
先说点轻松的，我们来说说21点。21 点是赠场里如可能赢钱的游戏，也足那里唯一相对公平的游戏。游戏规则很简单。首先给你发两张牌，计 算牌面上的数字之和。A可以当1点，也可以当11点。然后你可以决定是否要继续摸牌，获胜条件是数字之和不超过21点且最大。
这个游戏是有最优策略的，我把最简单的版本贴出来，以11和17为分界线，大于等于17的时候，无脑停牌，小于等于11的时候，无脑开牌。如果位于这中间，则根据庄家的明牌点数，如果庄家的明牌点数小于等于6，则停止。否则继续要牌。
这个策略只是方便记忆的最简化版本的策略，事实上，还有很多细节情况，这里没有提到。如果采取最佳玩法，玩家肚率高达49%，虽然没有超过50%，但是这个胜率已经是整个赌场中，玩家理论胜率最高的游戏了。
但是，上面所说的21点，是基于牌随机的前提。在实际操作中，所有开过的牌，是会进入弃牌堆的，他不是每局之后都重新洗牌。比如第一局，发现A这张牌已经开出了三张，那么在剩下的赌局中A这张牌出现的概率就会减少。上个世纪60年代，好几个麻省理工学院的数学系的学生通过记牌与团队协作的方式，注意不是作弊，也不是出老千，赚了很多。钱他们根据已经开出来的牌来制定应变的策略，胜率从49%提升到52%。最终整个拉斯维加斯几百个赌场联合起来抵制他们。
梭哈
一个玩家，可能偶尔在一晚上赢了很多钱。但如果每押一元平均都要亏一点，押得越多，平均就亏得越多。
类似地，假如你和一位羽毛球大神比赛，那么局数越少越好。41球21胜的赛制大概率赢不了。局数越多实力成分越多，运气成分越小。最好的策略是一球定胜负。
赌场设计
最后，来到了一个沉重的主题——为什么人们会沉迷赌博?我不知道在座的各位是否有自己，或者自己的亲朋好友沉迷赌博的经历?大家觉得人们沉迷赌博的原因是什么?有一本书，叫做《运气的诱饵》这本书的作者经历了20年的田野调查，得出结论足，人们沉迷赌博，往往只是为了沉醉其中，逃避世界。她认为，真正沉迷赌博的人，其实根本不是为了赢。
在美国，很多赌徒沉迷老虎机。像右边这张图所示，右边有一个推拉杆，按下推拉杆之后，三个轮盘会滚动，每个轮盘都有一些图案，比如水果图案。如果三个轮盘的图案都相同，则获奖。这个老虎机很有魔力，它让很多人日复一日地坐在那里玩。不工作，不吃饭，不上厕所，甚至不睡觉，就在那里玩。你以为他们不知道老虎机不能赢钱吗?他们比谁都清楚，玩了这么多年。但是他们就是想要继续玩下去的这种感觉。他们玩到这个地步，根本就不是为了赢钱了，而是为了继续玩下去。
为什么?这是因为在玩老虎机的过程中，他们进入了一种心流的状态。心流，在心理学中是指一种人们在专注进行某行为时所表现的心理状态。在心流状态中，人们可以短暂地忘记一切烦恼，可以逃避现实世界，可以获得在现实世界中无法获得的宁静和满足。
进入心流状态有四个条件，老虎机全都满足。
成瘾机制都是类似的。网络游戏成瘾、赌博成瘾，人都处于一种心流的状态。王者荣耀是不是也能让我们达到心流状态？电视剧是不是也是?电影是不是也是？
成瘾，单单足成瘾者的问题吗？赌场设计者，在设计赌场之初，就结合各种心理学，力图使赌场的设计，让用户更加容易沉迷其中。比如赢钱后落硬币的声音，都是经过精心设计的，这个响声可以刺激客人进一步赌下去。
又比如，赌场内部的设计，也很有讲究。它不会像写字楼那样方方正正，而是查歪扭扭，让玩家失去对时间和空间的感知，这样玩家更容易沉迷其中。
此外，在机器设计上，设计师也处心积虑动各种歪脑筋。比如老虎机的转盘上，表面上每个数字的概率都相等，其实背后还有一个隐#的转盘，转盘上1234567，2和6都映射到第一个转盘的2.表面上你觉得123的概率都相等，但其实2的概率是最大的。
又比如，最终显示的结果中，虽然你没有中奖，但是它会给你营造出一种你差一点就中奖的假象，这样会刺激你继续赌下去。
以上举的例子只是冰山一角。现在的端场，背后是世界上顶尖的心理学家、数学家、社会学家,它能让一个普通人在不知不觉中就调入场精心设计好的陷阱。
赌徒输光定理
最后，来到了本次分享的主题——赌徒输光定理。
我们把赌博简化成如下这个小游戏。游戏规则是，抛一枚均匀的硬币。如果正面朝上，小明给你1元；如果反面朝上，你给小明1元。你的初始本金有A元，小明的初始本金有B元。一直玩这个游戏，直到谁先输光了本金为止。请问你输光的概率是多少？
假设你有n元时，你输光的概率是P(n)，可以得到这个递推式
P(n)=0.5*P(n-1)+0.5*P(n+1)
这个递推式怎么理解呢？当你手里有 n 元时，玩一局，有0.5的概率输了，此时输光的概率是P(n-1）,有0.5的概率赢一局，此时输光的椰率是P（n+1)。
再加上两个初始条件，P(0）=1，你的本金是0元，那输光的概率就是1。你的本金足A+B元，说明小明已经没钱了，你输光的概率就是0。
有了递推式，有了初始条件，可以计算出出你输光的概率是B/(A+B)
这个结果很值得玩味。如果你和小明的初始本金都是100，那么你和小明的输光的概率都是50%。如果小明的初始资金是你的十倍，那你输光的概率约九成。在实际赌博中，小明是资金量比你大几个量级的赌场，那你输光的概车几乎就是100%了。这还是单局胜率50%的情况。事实上，赌场中没有任何一个游戏的胜率是达到50%的，也就是说，你会输得更快。
凯利公式
徒输光定理还可以从另一个角度来看，就是凯利公式。据说，巴菲特就是通过这个公式赚到了世界首富。
考虑如下场景:一次游戏中赢的概率是p。每下注1元，如果赢，则获得b元；如果输，则亏1元。
注意，如果p=0.5，b=1，则等价于刚刚的赌徒输光问题。
通过计算可以算出最优策略下，每次下注的资产比例应该是(pb-(1-p))/b。为什么要研究这个问题？举个极端的例子，假如一把下注梭哈，那很可能一下就亏光了，假如你每次只下注一块钱，赢得又太慢算。什么样的下注比例，是对你最有利的?
这个式子很有趣，我给大家解读一下。p的物理意义是胜率，b的物理意义是赔率。做任何决策都应该同时考虑胜率和赔率。单纯根据胜率或者菇率来做决策都会有失偏顾。
举个例子，现在有一个游戏，抛服子，抛到1-5获胜，抛到6则失败。你参加不参加这个游戏？这个游戏的胜率是很高的，5/6。
但是假如，胜利的奖励是1元，失败的惩罚是100元，你参加不参加这个游戏?肯定不参加。虽然胜率高，但足赔率低。
其实不止猪博，在人的一生中，也会面临大量的抉择，也都需要考虑胜率和赔率。
第二个启示是，如果pb-(1-p)<=0，那么F<=0，这其实意味着根本就不应该下注。
特别地假如p=0.5,b=1，F刚好等于0。这就是刚刚那个公平抛硬币的例子。F=0，意味下注金额为0，即不应该下注。
这个公式很有用，它不仅揭示了，在胜率和赔率都不利于你的情况下，你的最优策略是不玩。而且还指明了，如果你对胜率和赔率有把的情况下，如何分配下注比例，可以让你的获利最大化。
其实人生何尝不是一次次赌博组成的呢?在一次次抉择过程中，需要考虑胜率和赔率。
最后，总结一下，我们今天晚上，从薄饼讲到炸金花，从狼人杀讲到三国杀，从聚类错觉讲到大数定律，从21点讲到赌场设计。最后讲到端徒输光定理。虽然说知道这些概念，并不能帮助我们在赌博中赚钱，但至少可以让我们远离错误的道路，以及帮助我们在人生的抉择中，人生的赌博中，更加清楚明白地做好每一次块择。
参考资料：
1.狼人杀中的概率学 - 长尾的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/29114446
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